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合作网络演化的随机模型及其幂率分布

山石  孙庆川  张天翼  朱丽梅  
【摘要】:合作网络是一类重要的复杂网络。我们把科技作者作为节点,又把这些作者中至少合著一篇论文的合作关系以连线来表示,就可以得到一个科学合作网络。换言之,合作网络可以表达为一个简单无向图G=(V,E),其中V为节点集,E为边集。本文研究了科学合作网络的演化过程。记G(n)=(V(n),E(n))为时间n时的合作网络。我们称科技作者i的合作者人数ki为其链接度(degree)。假设初始阶段存在n0个几点,m0条边,即|V(0)|=n0,|E(0)|=m0,其中|V|表示集合V中元素个数。从时间n≥1开始,合作图就不断增长。增长方式为,每次加入一个与原有节点没有链接的新节点,再以优先链接的方式加入一条新的链接,这一新的链接加在两个没有链接的节点之间,并且链接度高的节点优先得到新链接。具体而言,链接度为k的节点获得新链接的概率为μk(n)=ak+b/aSn+b(n+N0),(a0,b0),其中Sn为时间n时合作图的总链接度。我们得到了刻画合作网络演化过程的数学模型:{N0(n+1)-N0(n)=1-1/(n+n0)λ0(n)N0(n) Nk(n+1)-Nk(n)=1/(n+n0)(λk-1(n)Nk-1(n)-λk(n)Nk(n))(A1),其中Nk(n)为到时间n时网络中链接度为k的节点的期望个数,λk(n)=(n+n0)μk(n)。我们证明了一个结论,(A1)存在平稳分布{Pk},limn→∞Nk(n)/(n+n0)=Pk,并且Pk≈Ck-(1+α),其中,α=2+b/a,C为常数。进一步,我们还从(A1)推导了一类三参数幂率分布——一般Waring分布,又证明了一个有意义的结论,系统(A1)存在幂率平稳分布的充分必要条件为,λk=limn→∞λk(n)=1/αk+o(k),其中α为幂率指标(α0)。最后我们给出了一个实证分析实例,这一实例实际81213位经济学家和分布在他们中间的133815个合作关系,统计年份为上世纪九十年代,这些经济学家在EconLit所收录的经济学期刊上至少发表一篇论文。结果表明,所导出的理论模型比较理想地刻画了合作关系在经济学家中的分布。

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