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一类非线性波动方程的行波解及其演化过程

张正娣  毕勤胜  
【摘要】:非线性波动方程是非线性科学的一个重要分支,是数学物理中一类重要的偏微分方程,它通常描述自然界中各种各样的波动现象。例如从我们日常熟悉的声波、光波和水波,直到银河系以及很多河外星系中的密度波和星系激波等,都可以由波动方程来描述。针对寻求非线性波动方程的精确解,特别是孤立波解,人们在研究过程中已经发展了一些构造精确解的有效方法,如散射反演方法、约化摄动法、Darboux变换、Hirota双线性变换,Baeklund变换等,且随着计算机代数的出现,极大提高了非线性方程的求解速度,拓广了求解的方法。但是能用解析方法求得精确解的只是少数方程性质比较简单的问题。对于大多数问题,由于方程的非线性性质,或者由于求解区域的几何形状比较复杂,则不能得到其解析解。我们用动力系统理论讨论一类非线性波动方程的所有可能行波解,通过对其进行相平面分析,得出了系统的分叉转迁集,这个分叉转迁集将参数平面分成若干不同的区域,在每个区域中向量场的相图具有不同的特性,相应的系统也将可能具有不同性质的行波解。在此基础上给出方程所有可能存在的有界行波解及其存在条件,详细分析了随着Hamiltonian量的变化,不同形式的波解相互之间的演化过程,讨论了其分叉机理。

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