利用单参数李群求KPP方程行波解方程的精确解

【摘要】：十九世纪 Liouille 证明一般 Riccati 方程不能用积分法积分,人们开始认识到现实中的大量微分方程无法用传统的积分法积分。同时代的 Able、Galois 利用群论的思想成功的证明了五次及五次以上的多项式方程的解不能用根式表示,受其影响,面对传统积分法所遇的困难,人们开始尝试将群方法应用到微分方程的可积性研究中,Picard、Vessiot 提出了微分 Galois 理论,十九世纪后期挪威数学家 Sophous Lie 建立了李群理论,为微分方程可积性理论的研究开辟了一条新的道路。Lie 证明了对于一阶常微分方程若能找到一个接受的李群, 则该方程可用积分法积分,对于 n 阶自治系统若系统接受一个 r 参数可解李群那么方程就可以通过积分法降阶到(n-r)阶,目前 Lie 群在微分方程中的应用性研究仍是一个十分活跃的领域。而对于偏微分方程,若已知所接受的一个单参数 Lie 群,可以利用它找一种正则变换,通过这个变换使整个偏微分方程消掉一个变量,若偏微分方程只含两个变自量则可化为常微分方程,即则可降维或将其化为常微分方程。

【作者单位】：北京交通大学理学院
【分类号】：O152.5