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《北京力学会第二十四届学术年会会议论文集》2018年
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可分离凸规划的对偶显式模型DP-EM方法及其应用

隋允康  彭细荣  
【摘要】:由于结构拓扑优化模型归结为非线性规划问题,可以采用基于非线性规划理论的各种求解算法,其中也包括对偶理论的相关的解法。早在结构拓扑优化之前,结构截面优化研究中,1979年就已经有人应用了对偶规划解法。较之含很多约束条件的原问题,对偶规划只含有对偶变量非负的约束条件,称为拟无约束规划,只要稍微修正一下,无约束规划的寻优算法就可以应用,这是该方法的优势。美中不足的是,对偶目标函数是隐函数形式,然而,却能求出其一阶导数和二阶导数的数值表达式,可用Lemke算法或其它算法直接求解拟无约束的二次规划形式的对偶问题。隋允康从1995年开始指导博士生和硕士生进行结构拓扑优化的研究,提出了ICM方法,优化模型建立后,将原问题转为对偶问题求解。原因在于:对偶变量的个数是原问题的有效约束数目,因而对偶问题的设计变量维数极大地降低,以连续体多位移约束的结构拓扑优化为例,假如有10000个单元,4个载荷工况下3点位移约束,实际有效约束最多只有12个,亦即最多12个对偶变量,而原问题却10000原变量。其中的奥妙就在于由Kuhn-Tucker条件成为原-对偶变量显式关系的桥梁,从而大幅度地提高了求解效率。基于ICM方法建立的优化模型,长期以来采用DSQP方法求解,加上偶目标函数依然是一个含参数的极小化问题,因而形成了不考虑求对偶问题显式目标函数的定势。本文从结构优化所建立的数学规划模型的特点出发,针对一大类广泛遇见的变量可分离的下列凸规划问题:Find x∈E~N Make F(x)=sum from i=1 to N(a_ix_i~α→min )s.t.G_j(x)=sum from i=1 to N(b_(ij)x_i~(-β)-g_j,j=1,...,M x_i≤x_i≤x_i,i=1,...,Nα,β≥1 (1) 原问题(1)的对偶问题为:Find λ∈E~M make Φ(λ)→max s.t. λ_i≥0,j=1,...,M (2) 无论在数学规划还是在结构优化领域里,式(2)的对偶目标函数没有提出过显函数,都是隐式的或者二阶近似函数,本文突破了对偶目标函数长期停滞不前的定势,推导得出了显式的对偶目标函数:Φ(λ)=-sum from j=1 to M{λ_j[g_j-sum from i∈I_a(b_(ij)(x_i)~-β)-sum from i∈I_a(b_(ij)(x_i)~-β]}+(α+β)/β sum from i∈I_a [a_i(β/αa_i sum from j=1 to M(λ_jb_(ij))]~[α/(α+β)]+const(3)应用本文提出的DP-EM(Dual Programming-Explicit Model)方法,及其便捷的求解算法,付诸连续体结构拓扑优化问题,取多工况位移约束下重量目标极小化问题编程,将DP-EM方法与DSQP方法及MMA方法进行了效率对比。(1)在所有算例的计算中,三种算法皆与其他作者的最后构型相同,表明本文的方法及其程序通过了验证。(2)DP-EM方法与DSQP方法相比外循环次数相同,是由于其求解的是同一数学规划模型,只是优化求解器不同。DP-EM方法的内循环数显著少于DSQP方法,显示了DP-EM方法得到显式对偶函数的优势,而DSQP方法则是应用二阶近似迭代逼近的目标函数,故计算效率逊色。(3)MMA方法比DP-EM方法和DSQP方法的外部迭代次数亦即结构建模次数多,是因为MMA方法仅利用了原优化模型的目标函数及约束函数的一阶敏度信息,因为近似程度比较低的缘故。(4)从科学研究方法论看,获得准确的显示模型优于近似的逼近模型,而能够做到的首要条件是突破"不可能做"的思维定势,从而别开生面地走出自己的路径。

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