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《第十届动力学与控制学术会议摘要集》2016年
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分数高斯噪声激励下拟可积哈密顿系统的随机平均法

吕强锋  胡荣春  朱位秋  
【摘要】:近几十年来,基于高斯白噪声与扩散过程模型,非线性随机动力学取得了长足的发展。然而随着研究工作的深入,新的问题不断出现,其中最引人注目的要数反常扩散现象和动态系统响应的非Markov性,这些现象和性质在湍流、多孔介质渗流和软物质等研究中表现尤其突出。在理论研究方面,分数阶布朗运动非常适合用来模型化反常扩散过程,相应的激励和噪声则由分数阶高斯噪声来描述。目前,只得到了分数高斯噪声激励下奥恩斯坦-乌伦贝克(Ornstein-Uhlenbeck)系统的精确解。所以,有必要发展渐近或近似的分析方法,比如随机平均法,来预测高阶或高维系统在分数高斯噪声激励下的响应。针对上述情形,本文提出了拟可积哈密顿系统在分数高斯噪声激励下的随机平均法。首先,简要介绍了分数高斯噪声和分数布朗运动的定义、基本特点以及分数布朗运动的积分形式,并推导了分数高斯噪声的相关函数和谱密度。分数布朗运动的积分形式有对称积分、前向积分、后向积分,本文所采用的是后向积分。由于受分数高斯噪声激励的系统响应不是Markov过程,不能应用常规的伊藤微积分公式,本文根据后向积分推导了新的伊藤微分规则。然后,应用新的伊藤微分规则,根据分数噪声激励下的动态系统的平均原理推导了能量首次积分的平均随机微分方程。数值求解平均随机微分方程可以近似得到原方程的平稳概率密度和响应的统计特性,由于平均随机微分方程的维数要比原方程的少,数值计算时效率高。最后用一个算例来说明该方法的有效性,算例结果显示,用所提出的方法得出的结果与原方程的数值模拟结果吻合的很好。

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